Докажите, что: а) [tex] \sqrt{7} + 3 \div 7 > 2 \sqrt{3} [/tex]б)[tex] \frac{1}{163 } + \frac{1}{157} > \frac{1}{80} [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для начала выразим выражение [tex]\sqrt{7} + \frac{3}{7}[/tex] через [tex]\sqrt{3}[/tex]:
[tex]\sqrt{7} = \sqrt{3}\sqrt{\frac{7}{3}} = \sqrt{3}\sqrt{1+\frac{4}{3}} = \sqrt{3}\left(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}[/tex]

Теперь подставим это выражение в данное неравенство:
[tex]\sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{3}{7} > 2\sqrt{3}[/tex]
[tex]\frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{3}{7} > 2\sqrt{3}[/tex]
[tex]\frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} > \frac{11\sqrt{3}}{3}[/tex]
[tex]\frac{2\sqrt{3} + 2 \cdot 3}{3\sqrt{3}} > \frac{11}{3}[/tex]
[tex]\frac{2\sqrt{3} + 6}{3\sqrt{3}} > \frac{11}{3}[/tex]
[tex]\frac{2\sqrt{3} + 6}{3\sqrt{3}} = \frac{2 + 6\sqrt{3}}{9} = \frac{2}{9} + \frac{6}{9\sqrt{3}}[/tex]

Последнее неравенство является верным, так как:
[tex]\frac{2}{9} + \frac{6}{9\sqrt{3}} > \frac{11}{3}[/tex]
[tex]\frac{2}{9} + \frac{6}{9\sqrt{3}} = \frac{2}{9} + \frac{6\sqrt{3}}{27} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}[/tex]
[tex]\frac{4}{9} > \frac{11}{3}[/tex]

Следовательно, первое неравенство верно.

б) Приведем дроби к общему знаменателю:
[tex]\frac{1}{163} + \frac{1}{157} = \frac{157 + 163}{163 \cdot 157}[/tex]
[tex]\frac{1}{163} + \frac{1}{157} = \frac{320}{25591}[/tex]

Теперь сравним дробь [tex]\frac{320}{25591}[/tex] с [tex]\frac{1}{80}[/tex]:
[tex]\frac{320}{25591} > \frac{1}{80}[/tex]
[tex]320 \cdot 80 > 25591[/tex]
[tex]25600 > 25591[/tex]

Таким образом, второе неравенство также является верным.