Высота, опущенная из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу, равна корню 4 степени из 3 (\sqrt[4]{3}) , а угол между медианой и биссектрисой, проведенными из той же вершины , равен 15°. Найдите площадь треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: h = \sqrt[4]{3}, \angle BMK = 15^\circ.

Известно, что высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу, делит треугольник на два подобных треугольника. Поэтому:

\frac{h}{c} = \frac{a}{b}, где a и b - катеты, c - гипотенуза. Так как прямоугольный угол, то a = h, b = c. Получаем: \frac{h}{c} = \frac{h}{c}.

Так как с = 2h (из подобия треугольников), то получаем: \frac{h}{2h} = \frac{h}{2h}.

Решая уравнение, получаем h = \frac{2h}{2h}

Также, известно, что угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины треугольника равен 15°. Из свойств треугольника, имеем, что угол между медианой и биссектрисой разбивает треугольник на два равносторонних треугольника. Так как треугольник прямоугольный, то эти два равносторонних треугольника равны. Следовательно, \angle BAM = 30^\circ. Значит, треугольник ABM - равнобедренный.

Теперь можем найти площадь треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то площадь равнобедренного треугольника равна S = \frac{1}{2}h^2.

Подставляем h = \sqrt[4]{3}

S = \frac{1}{2}(\sqrt[4]{3})^2 = \frac{3}{2} = 1.5.