Методом обратной матрицы решить систему
x1+3x2-6x 3=12,
3х1+2х2+5х3=-10,
2х1+5х2-3х3=6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала составим матрицу коэффициентов системы уравнений:

A = [\begin{pmatrix}1 & 3 & -6 \ 3 & 2 & 5 \ 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}]

Теперь нужно найти обратную матрицу A^(-1). Для этого воспользуемся правилом нахождения обратной матрицы:

A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A),

где det(A) - определитель матрицы A, adj(A) - матрица алгебраических дополнений для матрицы A.

Сначала найдем определитель матрицы det(A). Для этого воспользуемся правилом треугольника или правилом Саррюса:

det(A) = 1(2(-3) - 55) - 3(3(-3) - 52) + 2(35 - 22) = 1(-16) - 3(-17) + 2*11 = -16 + 51 + 22 = 57.

Теперь найдем алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы A:

A11 = 10, A12 = -14, A13 = -1,
A21 = -23, A22 = -18, A23 = 2,
A31 = 25, A32 = 4, A33 = -19.

Теперь составим матрицу алгебраических дополнений adj(A):

adj(A) = [\begin{pmatrix}10 & -14 & -1\ -23 & -18 & 2\ 25 & 4 & -19\end{pmatrix}]

И наконец, найдем обратную матрицу A^(-1) по формуле:

A^(-1) = (1/57) * adj(A).

A^(-1) = (1/57) * [\begin{pmatrix}10 & -14 & -1\ -23 & -18 & 2\ 25 & 4 & -19\end{pmatrix}]
A^(-1) = [\begin{pmatrix}10/57 & -14/57 & -1/57\ -23/57 & -18/57 & 2/57\ 25/57 & 4/57 & -19/57\end{pmatrix}]

Обратная матрица найдена. Теперь умножим обратную матрицу на столбец свободных членов:

X = A^(-1) * B,

где B = [\begin{pmatrix}12\ -10\ 6\end{pmatrix}]

X = [\begin{pmatrix}10/57 & -14/57 & -1/57\ -23/57 & -18/57 & 2/57\ 25/57 & 4/57 & -19/57\end{pmatrix}] [\begin{pmatrix}12\ -10\ 6\end{pmatrix}]
X = [\begin{pmatrix}10/5712 - 14/57(-10) - 1/576\ -23/5712 - 18/57(-10) + 2/576\ 25/5712 + 4/57(-10) - 19/576\end{pmatrix}]
X = [\begin{pmatrix}2\ -4\ 2\end{pmatrix}]

Таким образом, решение системы уравнений: x1 = 2, x2 = -4, x3 = 2.