Решите неравенство 2х(4х-2)-4(2х^2+3x-7(x-2)0 больше или равно 8-20х

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первым шагом раскроем скобки в левой части неравенства:

2x(4x-2) - 4(2x^2 + 3x - 7(x-2)) ≥ 8 - 20x

Упростим:

8x^2 - 4x - 8(2x^2 + 3x - 7x + 14) ≥ 8 - 20x

8x^2 - 4x - 16x^2 - 24x + 56 ≥ 8 - 20x

-8x^2 - 28x + 56 ≥ 8 - 20x

Перенесем все члены в одну часть неравенства:

-8x^2 - 28x + 56 + 20x - 8 ≥ 0

-8x^2 - 8x + 48 ≥ 0

Сократим на -8:

x^2 + x - 6 ≥ 0

Теперь найдем корни уравнения:

x^2 + 3x - 2x - 6 ≥ 0
x(x + 3) - 2(x + 3) ≥ 0
(x - 2)(x + 3) ≥ 0

Теперь определим интервалы, в которые попадают корни уравнения:

x ≤ -3 или x ≥ 2

Проверим значения из каждого интервала в исходном неравенстве:

1) При x ≤ -3:

2x(4x-2) - 4(2x^2 + 3x - 7(x-2)) ≥ 8 - 20x
Выберем x = -4:

2(-4)(4(-4) - 2) - 4(2(-4)^2 + 3(-4) - 7(-4-2))
= 2(-4)(-14) - 4(32) = 112

8 - 20(-4) = 48

112 ≥ 48 - неравенство выполняется

2) При x ≥ 2:

2x(4x-2) - 4(2x^2 + 3x - 7(x-2)) ≥ 8 - 20x
Выберем x = 3:

2(3)(4(3) - 2) - 4(2(3)^2 + 3(3) - 7(3-2))
= 2(3)(10) - 4(15) = 0

8 - 20(3) = -52

0 ≥ -52 - неравенство выполняется

Таким образом, решением неравенства является x ≤ -3 или x ≥ 2.