В некоторой геометрической прогрессии с положительным знаменателем 300 членов. Их сумма в 6^{200}+6^{100}+1 раз больше суммы ее первых 100 членов. Во сколько раз произведение тех членов этой прогрессии, номера которых оканчиваются на 9, больше произведения членов с номерами, оканчивающимися на 4?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен q. Тогда:
100 членов прогрессии с номерами, оканчивающимися на 4, образуют геометрическую прогрессию с 1·q⁴, 2·q⁴, 3·q⁴, …, 100·q⁴.
Тогда их сумма будет равна a·q⁴ (q⁴⁻¹⁻1)/(q⁻¹-1) = a·q⁴ (q³-1)/(q-1).

300 членов прогрессии суммой в 6^{200} + 6^{100} + 1 раз больше суммы ее первых 100 членов означает, что:

a·q³³³*(q³ - 1)/(q - 1) = (6^{200} + 6^{100} + 1)·a·q⁴.

Отсюда q⁰³³*(q³ - 1)/(q - 1) = 6⁰⁰ + 6⁰⁰/6¹⁠⁰⁰ + 1.

В итоге q³² + 1/q³² = 6⁰⁰ + 6⁰⁰/6¹⁠⁰⁰ + 1. Найдем степени q и их сумму.

Произведение 100 членов прогрессии с номерами, оканчивающимися на 9, равно
a·q⁹·[q⁹⁻¹]/(q⁻¹-1) = a·q⁹ (q⁸ - 1)/(q-1).

Отношение произведений членов с номерами, оканчивающимися на 9 и 4, будет равно
q⁹ (q⁸ - 1)/(q - 1) / q⁴ (q³ - 1)/(q - 1) = q⁵ + 1/q⁵.

Теперь остается найти q, что решает уравнения q³² + 1/q³² = 6⁰⁰ + 6⁰⁰/6¹⁠⁰⁰ + 1.