Докажите неравенство
(а+b+c) ^2 >= a (b+c-a)+b (a+c-b) + c ( a+b-c)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:

(a+b+c)^2 = (a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + ac + bc)

У нас есть неравенство a(b+c-a) + b(a+c-b) + c(a+b-c), раскроем скобки:

a(b+c-a) + b(a+c-b) + c(a+b-c) = ab + ac - a^2 + ab + bc - b^2 + ac + bc - c^2

Складывая все слагаемые:

= 2(ab + bc + ac) - (a^2 + b^2 + c^2)

Таким образом, неравенство a(b+c-a) + b(a+c-b) + c(a+b-c) представимо в виде:

(a+b+c)^2 = (a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + ac + bc) >= 2(ab + bc + ac) - (a^2 + b^2 + c^2)

Перенеся все в одну сторону неравенство, получаем:

(a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ac) >= - (a^2 + b^2 + c^2)

(a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ac) + (a^2 + b^2 + c^2) >= 0

(a+b+c)^2 >= a(b+c-a) + b(a+c-b) + c(a+b-c)

Таким образом, неравенство (a+b+c)^2 >= a(b+c-a) + b(a+c-b) + c(a+b-c) доказано.