Решите методом интервалов: [tex](x - 5)(x + 3) |x - 6| > 0[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первым делом найдем корни уравнений [tex](x - 5)(x + 3) = 0[/tex] и [tex]|x - 6| = 0[/tex]:

[tex](x - 5)(x + 3) = 0[/tex]
[x - 5 = 0] или [x + 3 = 0]
[x = 5] или [x = -3]

[tex]|x - 6| = 0[/tex]
Это уравнение равносильно [tex]x - 6 = 0[/tex] или [tex]-(x - 6) = 0[/tex]
[x = 6] или [x = 6]

Теперь найдем интервалы, на которых [tex](x - 5)(x + 3) |x - 6| > 0[/tex].

Проверим точки, лежащие слева от -3:
Пусть [tex]x \in (-\infty, -3)[/tex].
Тогда [tex](x - 5)(x + 3) > 0[/tex], [tex]|x - 6| > 0[/tex].
На этом интервале оба множителя и модуль будут положительными. Поэтому условие выполнено.

Проверим точки между -3 и 5:
Пусть [tex]x \in (-3, 5)[/tex].
Тогда [tex](x - 5)(x + 3) < 0[/tex], [tex]|x - 6| > 0[/tex].
На этом интервале множители [tex](x - 5)(x + 3) < 0[/tex], а модуль имеет положительное значение. Поэтому условие выполнено.

Проверим точки между 5 и 6:
Пусть [tex]x \in (5, 6)[/tex].
Тогда [tex](x - 5)(x + 3) > 0[/tex], [tex]|x - 6| < 0[/tex].
Множители [tex](x - 5)(x + 3) > 0[/tex], а модуль на этом интервале будет отрицательным, что невозможно. Значит, это условие не выполняется.

Проверим точки справа от 6:
Пусть [tex]x \in (6, +\infty)[/tex].
Тогда [tex](x - 5)(x + 3) > 0[/tex], [tex]|x - 6| > 0[/tex].
Оба множителя и модуль будут положительными на этом интервале, поэтому условие выполнено.

Итак, решением неравенства [tex](x - 5)(x + 3) |x - 6| > 0[/tex] являются интервалы (-∞, -3) объединенное с (-3, 5) объединенное с (6, +∞).