В прямоугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Найдите угол AOB, если AC + BD = 28 см и периметр AOB = 21 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины сторон прямоугольника ABCD.
Пусть AC = a, BD = b.
Из условия имеем a + b = 28.

Также, из периметра прямоугольника AOB получаем, что OA + AB + BO = 21.
Так как треугольник AOB равнобедренный (AO = BO), то OA = BO = (21-AB)/2.

Нам нужно найти угол AOB. Пусть этот угол равен x.
Тогда треугольник AOB является прямоугольным, так как диагонали пересекаются под углом в 90 градусов.
Из прямоугольного треугольника мы имеем, что sin x = (AO/AB).

Найдем sin x:
sin x = (AO/AB) = ((21-AB)/2) / AB = (21 - AB) / (2AB).

Так как треугольник AOB прямоугольный, то sin x = AC / AB.
Теперь можем записать выражение для sin x через a и b:
sin x = AC / AB = a / b.

Из этих двух равенств выражаем a и b через AB:
a = (21-AB)/2,
b = (21-AB)/2.

Подставляем полученные выражения в a + b = 28:
(21-AB)/2 + (21-AB)/2 = 28,
21 - AB + 21 - AB = 56,
42 - 2AB = 56,
2AB = 14,
AB = 7.

Теперь найдем угол x:
sin x = (21 - AB) / (2AB) = 14 / 14 = 1,
x = arcsin(1) = 90 градусов.

Итак, угол AOB равен 90 градусов.