Каков объём прямоугольного параллелепипеда,если площади трёх его граней составляют 6,12,8 см в квадрате?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон прямоугольного параллелепипеда как a, b и c.

Так как площадь боковой грани равна произведению двух сторон, то:
2(ab + bc + ac) = 6 + 12 + 8
2(ab + bc + ac) = 26
ab + bc + ac = 13

Также известно, что площадь одной из граней параллелепипеда равна ab = 6, bc = 12, ac = 8.

Тогда объем V параллелепипеда равен произведению трех его сторон:
V = abc

Найдем объем, используя формулу (ab + bc + ac)^2 = a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 + 2abc(a + b + c):
13^2 = a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 + 2abc(a + b + c)
169 = 36 + 144 + 64 + 2abc(a + b + c)
169 = 244 + 2abc(a + b + c)
2abc(a + b + c) = -75

Так как объем параллелепипеда равен половине от произведения объема куба нукружающего параллелепипеда на длину его диагонали, то:
abc (a + b + c)/3 = abc(a + b + c)/2 = V
V = -75/2 1/3 = -25/2

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда составляет -25/2 кубических сантиметра.