Для решения данного неравенства, мы должны учитывать область определения синуса и корня.

Учитывая, что ( \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) ) находится в интервале ([-1, 1]) и ( \sqrt{2} > 1), можно сделать вывод, что неравенство будет выполняться только в случае, когда значение синуса равно 1, т.е. ( \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) = 1).

Значит, чтобы неравенство было верным, необходимо, чтобы угол ( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) был равен ( \frac{\pi}{2}). Получаем уравнение:

( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} )

( \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} )

( x = \frac{\pi}{2} \cdot 2 = \pi )

Таким образом, для выполнения данного тригонометрического неравенства необходимо и достаточно, чтобы ( x = \pi ).