Докажите что если abcd = 1 то (a +1)(b + 1)(c +1)(d + 1) больше или равно 16 задача на свойства числовых не равенств все числа в задаче положительные

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия имеем abcd = 1.

Рассмотрим выражение (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1). Преобразуем его:

(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = abcd + abc + abd + acd + bcd + ab + ac + ad + bc + bd + cd + a + b + c + d + 1
(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = 1 + (abc + abd + acd + bcd) + (ab + ac + ad + bc + bd + cd) + (a + b + c + d) + 1
(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = 1 + (abc + abd + acd + bcd) + (a(b + c + d) + b(c + d) + cd) + (a + b + c + d) + 1

Так как abcd = 1, то abc + abd + acd + bcd >= 4 * (abcd)^(3/4) = 4.

Кроме того, так как все числа положительные, то каждое из слагаемых a(b + c + d), b(c + d), cd, a + b + c + d также будет положительным.

Следовательно, получаем:

(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) >= 1 + 4 + a(1 + 1 + 1) + b(1 + 1) + c + d + 1 = 16

Таким образом, доказано что (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) больше или равно 16.