Точки A,B,C НЕ лежат на одной прямой и точка P не принадлежит прямым AB, AC и BC. Докажите , что по крайней мере одна из прямых PA, PB и PC пересекает соответственно отрезок BC, AC или AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что ни одна из прямых PA, PB и PC не пересекает соответственно отрезок BC, AC или AB. Так как точка P не принадлежит прямым AB, AC и BC, то треугольник ABC не является вырожденным.

Отметим точку D на отрезке BC продолжим отрезок PA, так что PD = DA. Поскольку PA не пересекает BC, точка D лежит на отрезке BC.

Сейчас рассмотрим треугольник PAD и проведем высоту PF из вершины P на сторону AD. Так как AD < PD + PA = DA + PA и AD > PA, то отрезок PF пересекает AD - он же является кратчайшим временем между размещением точек A и D. Это означает, что прямая PA пересекает BC - противоречие с предположением.

Аналогично можно рассмотреть случаи при предположениях о том, что прямые PB и PC не пересекают соответственно отрезки AC и AB. Получаем, что по крайней мере одна из прямых PA, PB и PC пересекает соответственно отрезок BC, AC или AB.