Дана пирамида ABCD найти:
1 угол ABC грани АВС
2 площадь грани ВСD
3 объем пирамиды ABCD
A (4;5;2) B (0;-2;1) C (1;0;-3) D (-2;2;0)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам потребуется найти длины сторон и углы данной пирамиды.

Найдем стороны пирамиды ABCD:
AB = √((0 - 4)^2 + (-2 - 5)^2 + (1 - 2)^2) = √(16 + 49 + 1) = √66
BC = √((1 - 0)^2 + (0 + 2)^2 + (-3 - 1)^2) = √(1 + 4 + 16) = √21
AC = √((1 - 4)^2 + (0 - 5)^2 + (-3 - 2)^2) = √(9 + 25 + 25) = √59

Найдем угол ABC:
cos(∠ABC) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 AB BC)
cos(∠ABC) = (66 + 21 - 59) / (2 √66 √21)
cos(∠ABC) = 28 / (2 √66 √21)
cos(∠ABC) = 28 / (2 √(66 21))
cos(∠ABC) = 28 / (2 * √1386)
cos(∠ABC) ≈ 0.671
∠ABC ≈ arccos(0.671) ≈ 47.7°

Площадь грани BCD:
Сначала найдем векторные произведения сторон BD и BC, а затем векторное произведение вектора из начала координат в точку D и векторного произведения BD и BC:
{4, 5, 2} x {3, 2, 1} = {(-4 1) - (2 3), (2 1) - (4 3), (4 2) - (5 3)} = {-10, -10, 2}
{0, 0, 0} x {-10, -10, 2} = {(0 2) - (0 (-10)), (0 (-10)) - (0 2), (0 -10) - (0 (-10))} = {0, 0, 0}

Получили, что площадь грани равна 0, так как векторы коллинеарны и не образуют плоскости.

Найдем объем пирамиды ABCD:
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания (BC AC) на высоту пирамиды (расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания):
V = (BC AC BD) / 3
V = (√21 √59 |((-4 0) + (5 0) + (2 (-3)) + 0)|) / 3
V = (59 21 6) / 3
V = 3954 / 3
V ≈ 1318

Ответ:

∠ABC ≈ 47.7°Площадь грани BCD = 0Объем пирамиды ABCD ≈ 1318.