Решить интеграл [tex]\frac{1+x^{2} } { {e}^{x^{2} } }[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного интеграла нам потребуется использовать метод дифференцирования под знаком интеграла.

Итак, обозначим заданный интеграл как I:
[tex]I = \int \frac{1+x^{2}}{e^{x^{2}}} \,dx[/tex]

Продифференцируем обе части данного равенства по параметру a:
[tex]\frac{dI}{da} = \int \frac{\partial}{\partial a} \left( \frac{1+x^{2}}{e^{ax^{2}}} \right) \,dx[/tex]

Далее, продифференцируем функцию, стоящую под знаком интеграла:
[tex]\frac{dI}{da} = \int -x^{2} e^{-ax^{2}} \,dx[/tex]

Выполним интегрирование по частям, где u = x и dv = -x e^{-ax^{2}}:
[tex]\int u \,dv = uv - \int v \,du[/tex]
[tex]\frac{dI}{da} = -\frac{1}{2a} e^{-ax^{2}} - \frac{1}{2a} \int e^{-ax^{2}} \,dx[/tex]

Проинтегрируем последний интеграл, используя замену переменной з = x√a:
[tex]\int e^{-ax^{2}} \,dx = \int e^{-z^{2}} \frac{dz}{\sqrt{a}} = -\frac{1}{2} \sqrt{\pi} \frac{1}{\sqrt{a}}[/tex]

Таким образом, после подстановки данного значения обратно в уравнение, получим:
[tex]\frac{dI}{da} = -\frac{1}{2a} e^{-ax^{2}} + \frac{1}{4} \sqrt{\pi} \frac{1}{a^{3/2}}[/tex]

Подставим a = 1:
[tex]\frac{dI}{da} = -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} + \frac{1}{4} \sqrt{\pi}[/tex]

Интегрируя это уравнение по параметру a, получим:
[tex]I = -\frac{1}{2} e^{-x^{2}}a + \frac{1}{4} \sqrt{\pi}a[/tex]

Итак, интеграл заданной функции равен:
[tex]\int \frac{1+x^{2}}{e^{x^{2}}} \,dx = -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} + \frac{1}{4} \sqrt{\pi} + C[/tex]