Сторона равностороннего треугольника АВС равна 2 корня из 3, точка М расположена вне плоскости треугольника и отстоит от всех его вершин на расстояние 4. Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника, угол между прямой МА и плоскостью (АВС)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Расстояние от точки M до плоскости треугольника ABC можно найти следующим образом: опустим перпендикуляр из точки M на плоскость ABC, обозначим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью как P. Треугольник MPA будет прямоугольным, где MP - искомое расстояние.

Так как треугольник ABC равносторонний, то его высота будет равна (2\sqrt{3}).
Также, так как треугольник MAP прямоугольный, то (MP = \sqrt{MA^2 - AP^2}).
(MA = 4), так как точка M находится на расстоянии 4 от вершин треугольника, (AP = 2\sqrt{3}).

Отсюда находим: (MP = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2).

Итак, расстояние от точки M до плоскости треугольника ABC равно (2).

Угол между прямой MA и плоскостью ABC можно найти по следующей формуле: (\cos \theta = \frac{|(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM}) \cdot ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} )|}{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AM}|}), где (\theta) - угол между прямой и плоскостью.

Сначала найдем векторы (\overrightarrow{AM}), (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{AC}) (возьмем направление этих векторов так, чтобы тройка векторов была правой):
[\overrightarrow{AM} = (0, 4, 0),]
[\overrightarrow{AB} = (2\sqrt{3}, 0, 0),]
[\overrightarrow{AC} = (-2\sqrt{3}, 0, 0).]
Теперь найдем векторное произведение (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM}):
[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AM} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\ 2\sqrt{3} & 0 & 0\ 0 & 4 & 0 \ \end{vmatrix} = (0, 0, 8\sqrt{3}).]

Далее найдем векторное произведение (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}):
[\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\ 2\sqrt{3} & 0 & 0\ -2\sqrt{3} & 0 & 0 \ \end{vmatrix} = (0, 0, 0).]

Теперь найдем числитель и знаменатель для нашей формулы и выразим угол между прямой и плоскостью:

[\cos \theta = \frac{|(0, 0, 8\sqrt{3}) \cdot (0, 0, 0)|}{|(0, 0, 0)| \cdot 4} = 0.]

Отсюда получаем, что угол между прямой MA и плоскостью ABC равен 90 градусов.