Найти общее решение дифференциального уравнения
y’ + (4y)/x = -x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного дифференциального уравнения, можно воспользоваться методом вариации постоянной.

Дифференциальное уравнение имеет вид
y’ + (4y)/x = -x

Сначала найдем общее решение однородного уравнения y’ + (4y)/x = 0. Для этого представим y в виде y = x^k, где k - константа.

Тогда y' = kx^(k-1).

Подставим в исходное уравнение
kx^(k-1) + 4x^k / x =
kx^(k-1) + 4x^(k-1) =
x^(k-1)(k + 4) = 0

Учитывая, что x^(k-1) не может быть равен нулю, то получаем
k + 4 =
k = -4

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид
y = Cx^(-4), где C - произвольная постоянная.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения y’ + (4y)/x = -x. Для этого предположим, что y имеет вид y = Ax + B, где A и B - константы, так как правая часть неоднородного уравнения представляет собой функцию первой степени.

Тогда получаем
y' = A

Подставляем в исходное уравнение
A + 4(Ax + B) / x = -
A + 4Ax + 4B = -
4Ax + A + 4B = -x

Сравнивая коэффициенты при x, получаем
4A = -1 => A = -1/4

Сравнивая свободные члены, получаем
A + 4B =
-1/4 + 4B =
4B = 1/
B = 1/16

Частное решение неоднородного уравнения
y = -x/4 + 1/16

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид
y = Cx^(-4) - x/4 + 1/16, где C - произвольная постоянная.