Есть ненулевые числа a, b, c, в таком порядке образую арифметическую прогрессию. Докажите, что уравнение a[tex]x^{2}[/tex]+bx+c=0 имеет два решения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим значение дискриминанта уравнения квадратного трехчлена.

Дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен b^2 - 4ac.

Поскольку числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию, то b = a + d и c = a + 2d, где d - шаг прогрессии.

Подставим значения b и c в уравнение и выразим a и b через d:

D = (a + d)^2 - 4a(a + 2d) = a^2 + 2ad + d^2 - 4a^2 - 8ad = -3a^2 - 6ad + d^2.

Поскольку a ≠ 0, то D = a^2(-3 - 6d/a + d^2/a^2) = a^2(d^2/a^2 - 6d/a - 3).

Рассмотрим ситуации:
1) Если d = 0, то числа a, b, c совпадают и получаем уравнение a*x^2 = 0, которое имеет одно решение x = 0.
2) Если d ≠ 0, то D = a^2(d^2/a^2 - 6d/a - 3) = d^2 - 6d - 3. При этом d^2 - 6d - 3 = (d - 3)^2 - 12 > 0, так как d - 3 ≠ 0.

Следовательно, уравнение a*x^2 + bx + c = 0 имеет два решения для любых ненулевых чисел a, b, c, образующих арифметическую прогрессию.