Даны координаты вершин А1,А2,А3,А4. Найти: 1) длину ребра А1А2.2)угол между ребрами А1А2 и А1А4. 3) угол между ребром А1А1 и гранью А1А2А3 4) площадь грани А1А2А3 5) объем пирамиды 6) уравнения прямой А1А2 7) уравнение плоскости А1А2А3 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж
А1(4;6;5) А2 (6;9;4) А3 (2;10;10) А4(7;5;9)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Длина ребра А1А2:
d(A1, A2) = √[(6-4)² + (9-6)² + (4-5)²] = √[2² + 3² + (-1)²] = √(4+9+1) = √14

2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4:
cosθ = (AB AC) / (|AB| |AC|), где AB = A2 - A1 = (6-4,9-6,4-5) = (2,3,-1), AC = A4 - A1 = (7-4,5-6,9-5) = (3,-1,4)
cosθ = [(23) + (3-1) + (-14)] / [√(2²+3²+(-1)²) √(3²+(-1)²+4²)]
cosθ = (6 - 3 - 4) / (√14 * √26) = -1 / (√364) = -1 / 19

θ = arccos(-1/19)

3) Угол между ребром А1А1 и гранью А1А2А3:
Так как ребро А1А1 - это отрезок нулевой длины, то угол между ним и плоскостью А1А2А3 равен 90 градусов.

4) Площадь грани А1А2А3:
S = 1/2 |AB x AC|, где векторное произведение AB x AC определяется как (3(-1) - (-1)4, -12 - 34, 24 - 33) = (-3+4, -2-12, 8-9) = (1,-14,-1)
S = 1/2 √(1² + (-14)² + (-1)²) = 1/2 √(1 + 196 + 1) = 1/2 √198

5) Объем пирамиды:
V = 1/3 S h, где h - расстояние от вершины А4 до плоскости А1А2А3
h = |A4 x AB| / |AC|, где A4A = AB = (2,3,-1), AC = (3,-1,4)
h = |(3(-1) - (-14), -17 - 33, 54 - 210)| / √(3²+(-1)²+4²)
h = |(-3+4,-7-9,20-20)| / √(14)
h = √67 / 14

V = 1/3 (1/2 √198) (√67 / 14) = √(19867) / 84

6) Уравнение прямой А1А2:
x = 4 + t(6-4)
y = 6 + t(9-6)
z = 5 + t*(4-5)

7) Уравнение плоскости А1А2А3:
Находим вектор нормали к плоскости: AB x AC = (1,-14,-1)
Уравнение плоскости: x - 4 - 1(y - 6) + 14(z - 5) = 0

8) Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3:
Уравнение прямой проходящей через точки А4 и проекции точки А4 на плоскость А1А2А3:
x = 7 + t(4-7)
y = 5 + t(6-5)
z = 9 + t*(5-9)