Доведите что:
1)n^3+11n кратно 6
2)(n^2-1)(n^2-2n) кратно 24
Если n-целое число

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Проверим, что n^3 + 11n делится на 6 при любом целом n:

n^3 + 11n = n(n^2 + 11)

Так как n делится на n^2 при любом целом n, то первое слагаемое n(n^2) делится на n и на n^2.
Также 11 делится на 6 с остатком 5. То есть 11n делится на n и на 6.
Получается, что n^3 + 11n делится и на n и на 6, а значит кратно 6.

2) Теперь докажем, что (n^2 - 1)(n^2 - 2n) делится на 24 при любом целом n:

(n^2 - 1)(n^2 - 2n) = n^4 - 2n^3 - n^2 + 2n

Заметим, что каждый член делится на n, значит весь многочлен делится на n.

Теперь рассмотрим остатки от деления на 3 и на 8.

1) При делении на 3 различные остатки n^4 дают остатки 0, 1 или 2. При умножении на -2, остатки изменятся на противоположные. Значит, каждый член делится на 3, а значит и весь многочлен делится на 3.

2) При делении на 8 различные остатки n^4 дают остатки 0, 1, 4 или 5. При умножении остатки изменяются, но всегда дают остатки, делящиеся на 8. Таким образом, каждый член делится на 8.

То есть (n^2 - 1)(n^2 - 2n) делится и на 3 и на 8, а значит кратно 24.