Доведіть,що за кого натурального числа n значення виразу (n-1)(n+1)-(n-7)(n-5) кратне 12

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для цього треба довести, що різниця між добутком перших двох даних чисел (n-1) і (n+1) і добутку інших двох чисел (n-7) і (n-5) є кратною 12 для будь-якого натурального числа n.

Розглянемо вираз (n-1)(n+1):

(n-1)(n+1) = (n^2 + n - n - 1) = n^2 - 1.

Розглянемо тепер вираз (n-7)(n-5):

(n-7)(n-5) = (n^2 - 5n - 7n + 35) = n^2 - 12n + 35.

Тепер візьмемо різницю цих двох виразів:

(n^2 - 1) - (n^2 - 12n + 35) = 12n - 36 = 12(n - 3).

Таким чином, різниця між добутком (n-1)(n+1) і добутком (n-7)(n-5) є кратною 12 для будь-якого натурального числа n.