[tex] ({x}^{2} - \sqrt{2} x + 1 + \sqrt{2} )( {x}^{2} + 2x + 1 - \sqrt{2} ) = 0[/tex]решить уравнение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения, нужно найти корни каждого множителя.

Рассмотрим первый множитель: {x}^{2} - \sqrt{2} x + 1 + \sqrt{2} = 0.
Используем квадратное уравнение для нахождения корней:
D = (-\sqrt{2})^2 - 41(1 + \sqrt{2}) = 2 - 4 - 4\sqrt{2} = -2\sqrt{2} - 2.

x_{1,2} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{-2\sqrt{2} - 2}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2\sqrt{2} + 2}}{2}.

Таким образом, первый множитель имеет комплексные корни.

Рассмотрим второй множитель: {x}^{2} + 2x + 1 - \sqrt{2} = 0.
Используем квадратное уравнение для нахождения корней:
D = 2^2 - 41(1 - \sqrt{2}) = 4 - 4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}.

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4\sqrt{2}}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.

Таким образом, второй множитель имеет два вещественных корня.

Итак, уравнение имеет два комплексных корня и два вещественных корня:

x_1 = \frac{\sqrt{2} + i\sqrt{2\sqrt{2} + 2}}{2},
x_2 = \frac{\sqrt{2} - i\sqrt{2\sqrt{2} + 2}}{2},
x_3 = -1 + \sqrt{2},
x_4 = -1 - \sqrt{2}.