Найти первообразную [tex]\int{sin(x)e^x}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям.

Интегрируя по частям, мы можем записать:
[tex]\int{sin(x)e^x}[/tex] = [tex]sin(x)e^x - \int{cos(x)e^x}[/tex]

Теперь рассмотрим интеграл [tex]\int{cos(x)e^x}[/tex]. Для его нахождения также воспользуемся методом интегрирования по частям:
[tex]\int{cos(x)e^x}[/tex] = [tex]cos(x)e^x - \int{sin(x)e^x}[/tex]

Теперь подставим найденное значение этого интеграла обратно в первоначальное уравнение:
[tex] \int{sin(x)e^x} = sin(x)e^x - (cos(x)e^x - \int{sin(x)e^x})[/tex]

Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые с интегралом на одну сторону, получим:
[tex]2 \int{sin(x)e^x} = sin(x)e^x - cos(x)e^x[/tex]

Делим обе части на 2:
[tex]\int{sin(x)e^x} = (sin(x) - cos(x))e^x/2 + C[/tex]

Где C - постоянная интегрирования. Получаем первообразную исходного выражения [tex]\int{sin(x)e^x} = (sin(x) - cos(x))e^x/2 + C[/tex].