Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанные начальные условия: y’’+y=1/sinx, y(π/2)=1, y'(π/2)=π/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем общее решение дифференциального уравнения y'' + y = 1/sinx. Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид:

m^2 + 1 = 0

Откуда получаем m = ±i. Общее решение будет иметь вид:

y(t) = c1cos(t) + c2sin(t) + Yp(t),

где Yp(t) - частное решение дифференциального уравнения, c1 и c2 - произвольные постоянные.

Чтобы найти частное решение, представим правую часть уравнения 1/sinx в виде суммы двух функций:

1/sinx = Acos(x) + Bsin(x).

Продифференцируем обе части уравнения:

(-1/sin^2(x))cos(x) = -Acos(x) + Bsin(x),
(-1/sin^2(x))(-cos(x) = -Asin(x) - Bcos(x).

Подставляем x=π/2:

A = 1, B = 0.

Следовательно, y'(x) = cos(x) + Yp'(x), y''(x) = -sin(x) + Yp''(x). Подставляем найденные значения:

-sin(x) + Yp''(x) + cos(x) + Yp'(x) = 1/sin(x).

Откуда получаем, что Yp(x) = -cos(x)/sin(x) = -cot(x).

Теперь найдем частное решение дифференциального уравнения:

y(t) = c1cos(t) + c2sin(t) - cot(t).

Используем начальные условия:

y(π/2) = c1cos(π/2) + c2sin(π/2) - cot(π/2) = 1,
c2 - 1 = 1,
c2 = 2.

y'(π/2) = -c1sin(π/2) + c2cos(π/2) + csc^2(π/2) = π/2,

Итак, частное решение дифференциального уравнения с данными начальными условиями имеет вид:

y(t) = (-π/2 + 2)cos(t) + 2sin(t) - cot(t).