F(x)=x^3-12x найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0;3]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [0;3] необходимо найти экстремумы функции на этом отрезке.

Найдем производную функции F(x):
F'(x) = 3x^2 - 12.

Найдем стационарные точки функции F(x), приравняв производную к нулю:
3x^2 - 12 = 0
3x^2 = 12
x^2 = 4
x = ±2

Проверим найденные точки на экстремумы. Для этого найдем вторую производную функции F(x):
F''(x) = 6x.

Подставим найденные стационарные точки во вторую производную:
F''(2) = 6 2 = 12 (положительное число, значит x = 2 - точка минимума)
F''(-2) = 6 (-2) = -12 (отрицательное число, значит x = -2 - точка максимума)

Найдем значения функции в крайних точках и точках экстремума:
F(0) = 0^3 - 120 = 0
F(2) = 2^3 - 122 = 8 - 24 = -16
F(3) = 3^3 - 12*3 = 27 - 36 = -9

Итак, наибольшее значение функции на отрезке [0;3] равно 0 при x = 0, а наименьшее значение равно -16 при x = 2.