Найти предел
[tex]\lim_{x \to a} \frac{x^{\alpha}-a^{\alpha}} {x^{\beta }-a^{\beta }}[/tex][tex]a\ \textgreater \ 0[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения предела данной функции при приближении x к a, можно использовать правило Лопиталя.

Обозначим f(x) = x^α - a^α и g(x) = x^β - a^β.
Тогда, предел можно переписать в виде:
lim(x -> a) f(x) / g(x)

Произведем дифференцирование числителя и знаменателя по x:
f'(x) = αx^(α-1)
g'(x) = βx^(β-1)

Подставляем в предел:
lim(x -> a) (αx^(α-1)) / (βx^(β-1))

Разделим числитель и знаменатель на x^(β-1):
lim(x -> a) (α/x^(1-α)) / (β/x^(1-β)) = (α / β) * (x^(β - α))

Поскольку α и β - это константы, мы видим, что предел будет равен 0 при приближении x к a.