Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ур-е имеет 1 решение: x^3-x+2=-x^2+ax-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы уравнение имело ровно одно решение, нужно чтобы его график касался оси X, т.е. у него была геометрическая кратность 2.

Для этого уравнение должно иметь один корень кратности два. Пусть это корень r. Тогда уравнение можно записать в виде (x - r)^2(x - s) = 0, где s – корень уравнения x^3 - x + 2 = -x^2 + ax - 1, не равный r.

(x - r)^2(x - s) = 0
(x^2 - 2rx + r^2)(x - s) = 0
x^3 - (s + 2r)x^2 + (rs + r^2)x - r^2s = 0

Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x, получаем следующие уравнения:
s + 2r =1
rs + r^2 = -1
r^2s = -2

Мы получили нелинейную систему из 3 уравнений. Для нахождения решений данной системы, мы можем решить первые два уравнения и подставить их в третье:
r = 1 - s,
(1 - s)s + (1 - s)^2=-2,
s - s^2 + 1 - 2s + s^2 = -2,
s = 1.

Таким образом, значение параметра a в данной задаче равно 1.