Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a и b - основания трапеции, h - высота трапеции, r - радиус вписанной окружности.

Так как радиус вписанной окружности равен 12, то он равен также расстоянию от точки касания до основания a и от точки касания до основания b.

Пусть d1 и d2 - отрезки, соединяющие точку касания с вершинами трапеции.

Тогда, очевидно, d1 = r, d2 = r.

При этом d1 и d2 являются высотами равнобедренных трапеций, в которых d1, d2 и основания являются катетами, а радиус - гипотенузой. Получается, что d1, d2 и основания образуют прямоугольный треугольник.

Тогда, применяя теорему Пифагора к обоим треугольникам, получаем:

d1^2 = (a-b)^2 + h^2
d2^2 = (a-b)^2 + h^2

r^2 = (a-b)^2 + h^2
12^2 = (a-b)^2 + h^2
144 = (a-b)^2 + h^2

Также из условия трапеции следует, что a>b, следовательно a - b > 0.

Таким образом, мы получили систему уравнений:

144 = (a-b)^2 + h^2
144 = (a-b)^2 + h^2
a > b

Найдём значение высоты h:

144 = (a-b)^2 + h^2
144 = (a-b)^2 + 144
0 = (a-b)^2

(a - b) = 0

Таким образом, a = b.

Из условия трапеции следует, что основания требауи должны быть различными, поэтому такой трапеции с вписанной окружностью не существует.