Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) длину стороны АВ; б) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; в) внутренний угол В
г) уравнение медианы АЕ; д) уравнение и длину высоты СD; е) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне AB и точку М ее пересечения в высотой C
А(1;-2) B(4;2) C(5;0)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Длина стороны AB
AB = √((4-1)^2 + (2-(-2))^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

б) Уравнение прямой AB
Для этого найдем уравнение прямой в общем виде y = kx + b, где k - угловой коэффициент, b - свободный член.

k = (2-(-2))/(4-1) = 4/
Используя точку A(1;-2)
-2 = 4/3*1 +
b = -2 - 4/3 = -10/3

Уравнение стороны AB: y = 4/3x - 10/3

Угловой коэффициент стороны AB: k = 4/3

Уравнение прямой BC
k = (0-2)/(5-4) = -
Используя точку B(4;2)
2 = -2*4 +
b = 10

Уравнение стороны BC: y = -2x + 10

Угловой коэффициент стороны BC: k = -2

в) Внутренний угол B
Используя координаты вершин, найдем векторы AB и BC
AB: (4-1)i + (2-(-2))j = 3i + 4
BC: (5-4)i + (0-2)j = i - 2j

Угол между векторами
cos(B) = (31 + 4(-2))/√(3^2+4^2)√(1^2+(-2)^2) = (3-8)/√25√5 = -5/5√5 = -1/√
B = arccos(-1/√5) ≈ 116.57°

г) Уравнение медианы AE
Медиана AE - это отрезок, соединяющий вершину A с серединой противолежащей стороны BC. Найдем середину стороны BC
M_BC(4.5;1
Уравнение медианы AE проходит через точки A(1;-2) и M_BC(4.5;1)
y = kx +
k = (-2-1)/(1-4.5) = 3.5/3.5 =
Используя точку A(1;-2)
-2 = 1*1 +
b = -3

Уравнение медианы AE: y = x - 3

д) Уравнение и длина высоты CD
Высота CD - это перпендикуляр проведенный из вершины C к стороне AB. Найдем угловой коэффициент CD
k_CD = -1/k_AB = -1/(4/3) = -3/
Уравнение высоты CD проходит через точку C(5;0)
y = k_CDx +
0 = -3/45 +
b = 15/4

Уравнение высоты CD: y = -3/4*x + 15/4

Длина высоты CD
D = |(5*(-3/4) + 0 + 15/4)/√((-3/4)^2+1)| = |(-15/4 + 15/4)/√(9/16 + 1)| = |0/√(9/16 + 1)| = 0

е) Уравнение прямой, проходящей через точку E(3;-1) параллельно стороне AB и точку M(4.5;1) ее пересечения в высотой CD
Так как прямая параллельна стороне AB, у нее такой же угловой коэффициент
k = 4/
Уравнение прямой, проходящей через точку E(3;-1)
y = kx +
-1 = 4/3*3 +
b = -5

Уравнение прямой: y = 4/3x - 5