Корень 3 sinx+cosx= - корень 3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте найдем решение уравнения корень 3 sinx + cosx = - корень 3.

Представим sinx и cosx через tg(x/2):

sinx = 2tg(x/2) / (1+ tg^2(x/2))

cosx = (1- tg^2(x/2)) / (1+ tg^2(x/2))

Подставим это в исходное уравнение:

корень 3 * 2tg(x/2) / (1+ tg^2(x/2)) + (1- tg^2(x/2)) / (1+ tg^2(x/2)) = -корень 3

Умножим обе части уравнения на (1+ tg^2(x/2)):

корень 3 2tg(x/2) + (1- tg^2(x/2)) = -корень 3 (1+ tg^2(x/2))

Раскроем скобки:

2корень 3tg(x/2) + 1 - tg^2(x/2) = -корень 3 - корень 3tg^2(x/2)

Поделим обе части на корень 3:

2tg(x/2) + 1/sqrt(3) - tg^2(x/2)/sqrt(3) = -1 - tg^2(x/2)

Перенесем все члены в одну сторону:

tg^2(x/2) + tg(x/2) - 1/sqrt(3) = -1

Обозначим tg(x/2) = t:

t^2 + t - 1/sqrt(3) + 1 = 0

t^2 + t - sqrt(3)/3 = 0

D = 1 + 4*sqrt(3)/3 > 0

t = (-1 ± sqrt(1+4sqrt(3)/3))/2

t1 = (-1 + sqrt(1+4sqrt(3)/3))/2 ≈ -1.477

t2 = (-1 - sqrt(1+4sqrt(3)/3))/2 ≈ 0.677

tg(x/2) = -1.477 или tg(x/2) = 0.677

x/2 = arctg(-1.477) or x/2 = arctg(0.677)

x = 2arctg(-1.477) + πk or x = 2arctg(0.677) + πk, k - любое целое число.

Таким образам, решение уравнения корень 3 sinx + cosx = - корень 3 имеет вид x = 2arctg(-1.477) + πk or x = 2arctg(0.677) + πk.