Найдите кубический многочлен f(x) такой, что f(−2)=−10, f′(−2)=-19, f′′(−2)=−20 и f′′′(−2)=12.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.

Тогда f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a

Используем данную информацию:

f(-2) = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + d = -10
-8a + 4b - 2c + d = -10
-8a + 4b - 2c + d = -10 (1)

f'(-2) = 3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = -19
12a - 4b + c = -19
12a - 4b + c = -19 (2)

f''(-2) = 6a(-2) + 2b = -20
-12a + 2b = -20
-12a + 2b = -20 (3)

f'''(-2) = 6a = 12
6a = 12
a = 2

Подставляем a = 2 в уравнения (3) и (1):

-24 + 2b = -20
2b = 4
b = 2

-8(2) + 4(2) - 2c + d = -10
-16 + 8 - 2c + d = -10
-8 - 2c + d = -10
-2c + d = -2
2c - d = 2 (4)

Теперь найдем c и d из уравнений (2) и (4):

12(2) - 4(2) + c = -19
24 - 8 + c = -19
16 + c = -19
c = -35

2(-35) - d = 2
-70 - d = 2
d = -72

Итак, искомый кубический многочлен f(x) равен:
f(x) = 2x^3 + 2x^2 - 35x - 72.