Найти предел
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(1+x^{1/2}+x^{1/3})}{ln(1+x^{1/3}+x^{1/4})}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим отношение аргументов логарифмов в пределе:
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{1+x^{1/2}+x^{1/3}}{1+x^{1/3}+x^{1/4}}[/tex]

После деления числителя и знаменателя на x^{1/4}, преобразуем выражение:
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x^{1/4}}+x^{-1/4}+x^{-5/12}}{\frac{1}{x^{1/4}}+x^{-1/12}+x^{-1/6}}[/tex]

Выделяем свободный член и представляем оставшиеся слагаемые в виде бесконечно малых:
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{0+0+0}{0+0+0}[/tex]

Получаем неопределенность 0/0, поэтому использовать правило Лопиталя. Найдем производные числителя и знаменателя:
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{1}{4}x^{-5/4}-\frac{5}{12}x^{-17/12}}{-\frac{1}{4}x^{-5/4}-\frac{1}{12}x^{-13/12}}[/tex]

Подставляем x = +∞ и получаем:
[tex]\lim{x \to +\infty} \frac{0+0}{0+0} = \lim{x \to +\infty} \frac{0}{0} = 0[/tex]

Итак, исходя из свойства логарифмов, предел выражения равен единице:
[tex]\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(1+x^{1/2}+x^{1/3})}{ln(1+x^{1/3}+x^{1/4})} = 1[/tex]