Решить дифференциальное уравнение :
xy'+y=-x^2y^2 ; y(1)=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано дифференциальное уравнение:

xy' + y = -x^2y^2

Преобразуем его к виду y' + (1/x)y = -x*y^2:

y' = -xy^2 - (1/x)y

Теперь найдем общее решение дифференциального уравнения. Сначала решим характеристическое уравнение:

μ'(x) + (1/x)μ(x) = 0

μ'(x) = - (1/x)μ(x)

μ'(x)/μ(x) = -1/x

ln|μ(x)| = -ln|x| + C

μ(x) = C/x

Теперь воспользуемся методом вариации постоянной и найдем частное решение:

y = v(x) * μ(x)

y' = v'(x) μ(x) + v(x) μ'(x)

Подставляем в дифференциальное уравнение и находим v(x):

v'(x) μ(x) + v(x) μ'(x) + v(x) μ(x)/x = -x [v(x) * μ(x)]^2

v'(x)/v(x) = -x

ln|v(x)| = -x^2 + C

v(x) = e^(-x^2 + C)

y = (C/x) * e^(-x^2)

Теперь используем начальное условие y(1) = 1:

1 = C/e, где C - константа

C = exp(1)

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения:

y = (exp(1)/x) * e^(-x^2)

Ответ: y = (exp(1)/x) * e^(-x^2)