В ряду находится 10 шкафчиков, пронумерованных от 1 до 10. Каждый шкафчик нужно покрасить в красный, синий или в зелёный, исходя из следующих правил
- два шкафчика с номерами n и m окрасить в разные цвета, когда n - m = нечетное число
- не обязательно использовать все 3 цвет
Сколько возможных вариантов окраски ряда шкафчиков существует? Требуется доказательство
( как-то вот так, заранее спасибо за помощь )

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом дополнений.

Имеется 10 шкафчиков, поэтому всего существует 3^10 способов их покраски (каждый шкафчик может быть красным, синим или зеленым).

Теперь рассмотрим сначала ситуацию, когда два шкафчика с номерами, разность между которыми равна нечетному числу, окрашены в один цвет. Обозначим цвет, который будут иметь эти два шкафчика за X.

Тогда остается 9 шкафчиков, каждый из которых можно покрасить 2-мя цветами (не тем, которым покрашены два шкафчика с нечетной разностью номеров). Для каждого из них есть 2 варианта окраски, поэтому всего таких вариантов 2^9.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда два шкафчика с номерами, разность между которыми равна четному числу, окрашены в один цвет. Обозначим цвет, который будут иметь эти два шкафчика за Y.

Тогда остается 9 шкафчиков, каждый из которых можно покрасить 2-мя цветами (не тем, которым покрашены два шкафчика с четной разностью номеров). Для каждого из них есть 2 варианта окраски, поэтому всего таких вариантов 2^9.

Итого, общее количество вариантов покраски шкафчиков, удовлетворяющее заданным условиям, равно 3^10 - 2^9 - 2^9 = 59049 - 512 - 512 = 58025.

Таким образом, существует 58025 различных способов покраски шкафчиков.