На какое натуральное число нужно умножить 2015, чтобы у полученного числа было ровно 12 натуральных делителей (включая единицу и само число)? (Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти все возможные ответы, нужно разложить число 2015 на простые множители.

2015 = 5 13 31

Теперь мы можем найти количество делителей числа 2015 по формуле (p1+1)(p2+1)...*(pn+1), где p1, p2,..., pn - степени простых множителей числа.

Для числа 2015 это будет (1+1)(1+1)(1+1) = 222 = 8 делителей.

Получается, что нам нужно умножить 2015 на 2^4 = 16, чтобы получить число с 12 делителями.

Теперь докажем, что других ответов нет.

Предположим, что есть число n, на которое можно умножить 2015, чтобы получить число с 12 делителями и n > 16.

Пусть n = 2^a * b, где a >= 4 (так как уже учли вариант n = 16) и b не содержит степени двойки.

Тогда количество делителей числа 2015n будет равно (2+a)(1+1)(1+1)(1+1) = 8(a+2).

Мы хотим, чтобы это число было равно 12, поэтому 8*(a+2) = 12, откуда получаем a = 1/2, что противоречит условию, что a - целое число.

Следовательно, других ответов на вопрос нет, мы должны умножить число 2015 на 16, чтобы получить число с 12 делителями.