Для начала приведем неравенство к общему знаменателю:
x^(2/3) > (40x - 9) / 5
Умножим обе части неравенства на 5:
5x^(2/3) > 40x - 9
Теперь приведем всё к левую сторону и соберем все члены:
5x^(2/3) - 40x + 9 > 0
Полученное неравенство является исходным и его нужно решить:
Для начала заметим, что это неравенство является квадратным неравенством относительно x^(1/3), пусть y = x^(1/3),тогда неравенство примет вид:
5y^2 - 40y + 9 > 0
Рассмотрим уравнение 5y^2 - 40y + 9 = 0 и найдем его корни:
D = (-40)^2 - 459 = 1600 - 180 = 1420
y1 = (40 + sqrt(1420)) / 10y1 ≈ 8.78
y2 = (40 - sqrt(1420)) / 10y2 ≈ 1.02
Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции 5y^2 - 40y + 9:
Изучим знаки функции на каждом из интервалов:
Пусть y = 0. Тогда знак определяется значением y = 0.50^2 - 400 + 9 = 9 > 0, значит, в этом интервале функция положительна.
Пусть y = 5. Тогда знак определяется значением y = 5.55^2 - 405 + 9 = 125 - 200 + 9 = -66 < 0, значит, в этом интервале функция отрицательна.
Пусть y = 10. Тогда знак определяется значением y = 10.510^2 - 4010 + 9 = 500 - 400 + 9 = 109 > 0, значит, в этом интервале функция положительна.
Таким образом, решением исходного неравенства является объединение интервалов, в которых функция 5y^2 - 40y + 9 положительна:
x^(1/3) ∈ (-∞, 1.02) ∪ (8.78, +∞)
Подставим обратно значение y = x^(1/3):
x ∈ (-∞, 1.02^3) ∪ (8.78^3, +∞)
x ∈ (-∞, 1.0616) ∪ (648.048, +∞)
Для начала приведем неравенство к общему знаменателю:
x^(2/3) > (40x - 9) / 5
Умножим обе части неравенства на 5:
5x^(2/3) > 40x - 9
Теперь приведем всё к левую сторону и соберем все члены:
5x^(2/3) - 40x + 9 > 0
Полученное неравенство является исходным и его нужно решить:
Для начала заметим, что это неравенство является квадратным неравенством относительно x^(1/3), пусть y = x^(1/3),
тогда неравенство примет вид:
5y^2 - 40y + 9 > 0
Рассмотрим уравнение 5y^2 - 40y + 9 = 0 и найдем его корни:
D = (-40)^2 - 459 = 1600 - 180 = 1420
y1 = (40 + sqrt(1420)) / 10
y1 ≈ 8.78
y2 = (40 - sqrt(1420)) / 10
y2 ≈ 1.02
Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции 5y^2 - 40y + 9:
(-∞, 1.02)(1.02, 8.78)(8.78, +∞)Изучим знаки функции на каждом из интервалов:
Пусть y = 0. Тогда знак определяется значением y = 0.
50^2 - 400 + 9 = 9 > 0, значит, в этом интервале функция положительна.
Пусть y = 5. Тогда знак определяется значением y = 5.
55^2 - 405 + 9 = 125 - 200 + 9 = -66 < 0, значит, в этом интервале функция отрицательна.
Пусть y = 10. Тогда знак определяется значением y = 10.
510^2 - 4010 + 9 = 500 - 400 + 9 = 109 > 0, значит, в этом интервале функция положительна.
Таким образом, решением исходного неравенства является объединение интервалов, в которых функция 5y^2 - 40y + 9 положительна:
x^(1/3) ∈ (-∞, 1.02) ∪ (8.78, +∞)
Подставим обратно значение y = x^(1/3):
x ∈ (-∞, 1.02^3) ∪ (8.78^3, +∞)
x ∈ (-∞, 1.0616) ∪ (648.048, +∞)