На эллипсе 5x^2 + 9y^2= 180 найдите точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше расстояния ее от левого фокуса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение задает эллипс с центром в начале координат (0,0), а полуосями, равными a = √36 = 6 и b = √20 = 2√5.

Фокусы эллипса можно найти по формуле c = √(a^2 - b^2), где c - расстояние от центра до фокусов. Тогда c = √(36 - 20) = √16 = 4.

Координаты фокусов будут равны (-4,0) и (4,0). По условию, нужно найти точку на эллипсе, расстояние которой от правого фокуса (4,0) в два раза меньше расстояния от левого фокуса (-4,0).

Пусть координаты искомой точки будут (x, y). Тогда расстояние от точки до правого фокуса (4,0) будет равно √((x-4)^2 + y^2), а до левого фокуса (-4,0) - √((x+4)^2 + y^2).

По условию задачи имеем:

√((x-4)^2 + y^2) = 2∙√((x+4)^2 + y^2)

(x-4)^2 + y^2 = 4∙((x+4)^2 + y^2)

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4x^2 + 32x + 64 + 4y^2

Переносим всё в одну часть уравнения:

3x^2 + 40x + 3y^2 - 48 = 0

Это уравнение эллипса. Теперь можно использовать его для нахождения конкретных значений x и y.