Разделим уравнение на три части:

|x-1| + |x-2| = x + 3

Рассмотрим случаи, когда выражения под модулями положительны и отрицательны.

Случай 1:
x-1 > 0 и x-2 > 0

x > 1 и x > 2
x > 2

Случай 2:
x-1 < 0 и x-2 > 0

x < 1 и x > 2
Нет решений

Случай 3:
x-1 < 0 и x-2 < 0

x < 1 и x < 2
x < 1

Случай 4:
x-1 > 0 и x-2 < 0

x > 1 и x < 2
1 < x < 2

Из случая 2 и 4 уравнение не имеет решений.

Итак, решение уравнения (x-1) + (2-x) = x + 3:
x = 2