1. Точка S находится на расстоянии 10 см от вершин равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) и на расстоянии 6 см от его плоскости. Найдите Стороны треугольника, если <ВАС = 30 °
2.Три отрезка SA, SB, SC попарно перпендикулярны, SA = SB = SC = d. Найдите расстояние от точки S до плоскости АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону треугольника равной d. Так как треугольник равнобедренный, то AB = AC = d. Построим высоту AM, которая является медианой и биссектрисой треугольника. Так как угол ВАС равен 30 градусам, то треугольник АМС является равносторонним, следовательно, AM = d.

Теперь построим прямую, параллельную BC и проходящую через точку S. Обозначим точку пересечения этой прямой с AM как P. Так как AP и CS являются высотами треугольника, то треугольники ASP и CSP являются подобными. Таким образом, AS/CS = PS/AS, откуда AS^2 = PS CS. Подставим известные значения: 10^2 = PS 6, откуда PS = 100/6 = 50/3 см.

Теперь рассмотрим треугольник APS. Применим теорему косинусов: d^2 = 10^2 + (50/3)^2 - 2 10 50/3 * cos(30°). Решив эту задачу, найдем длину стороны треугольника d.

Так как отрезки SA, SB, SC попарно перпендикулярны АВС, то треугольник ASB является прямым. Построим высоту AN, где N - середина отрезка AB. Тогда SN = AN = d/2. Также, так как SA поперек прямой SB, то SN перпендикулярен AB.

Построим прямую SP, параллельную AB и пересекающую BC в точке P. Так как SN перпендикулярен AB, то треугольник SNP является прямоугольным. Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику SNP: SP^2 = SN^2 + PN^2, где PN = d/2.

Теперь рассмотрим треугольник PSP'. Так как PP' параллельна AB и пересекает SC под прямым углом в точке S, то треугольники SCB и P'SB подобны. Таким образом, SP/SB = SC/BC, откуда SP = SB SC / BC = d d / BC.

Теперь мы знаем, что SP^2 = d^2 + (d/2)^2 = d^2 + d^2/4. С другой стороны, SP^2 = d^2 SC^2 / BC^2. Таким образом, d^2 SC^2 / BC^2 = d^2 + d^2/4.

Отсюда мы можем найти расстояние от точки S до плоскости ABC, BC = d * √(5/4).