Доказать что [tex]3^{60}[/tex]-[tex]2^{60}[/tex] делится на 11

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения, можно воспользоваться малой теоремой Ферма.

По малой теореме Ферма:
Если p - простое число, то для любого целого числа a верно:
[a^p]-[a] делится на p.

Так как 11 - простое число, можем применить малую теорему Ферма к утверждению:
[3^11]-[3] делится на 11, и
[2^11]-[2] делится на 11.

Для каждого целого k верно, что a^k - a делится на а, тогда:
(3^60-3) и (2^60-2) также делятся на 11.

Теперь воспользуемся следующим фактом:
Если a и b делятся на 11, то a-b также делится на 11.

тогда
(3^60-3) - (2^60-2) = 3^60-2^60-1
(3^60-2^60) - 1 делится на 11.

Следовательно, разность между 3^60 и 2^60 делится на 11.

Таким образом, [tex]3^{60}[/tex] - [tex]2^{60}[/tex] действительно делится на 11.