Постройте график функции у= x+2/x'2+2x и определите,при каких значениях К прямая у=кх имеет с графиком ровно одну общую точку

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график функции у = x + 2 / (x^2 + 2x):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = x + 2 / (x*2 + 2x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = x + 2 / (x^2 + 2x)')
plt.grid()
plt.show()

Теперь посмотрим, при каких значениях К прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком функции.

Для этого составим систему уравнений:

kx = x + 2 / (x^2 + 2x)

Приведем уравнение к виду:

kx(x^2 + 2x) = x + 2
kx^3 + 2kx^2 = x + 2

Подставим y = kx и уравнение функции у = x + 2 / (x^2 + 2x) в одно уравнение:

kx = x + 2 / (x^2 + 2x)
kx = kx

kx - x = 2 / (x^2 + 2x)
x(k - 1) = 2 / (x^2 + 2x)
x = 2 / ((k - 1)(x^2 + 2x))
x = 2 / (kx^2 + 2kx - x^2 - 2x)
x = 2 / (k - 1)x(x + 2)

Таким образом, общая точка будет одна, если (k - 1)x(x + 2) = 1 при x != 0 и x != -2.

Теперь проведем анализ для разных значений k:

k = 1:
x(x + 2) = 1
x^2 + 2x - 1 = 0
Решением данного квадратного уравнения будет два корня: x1 ≈ -2.73 и x2 ≈ 0.73. Таким образом, прямая y = x имеет 2 общие точки с графиком функции.

k != 1:
x = 2 / (k - 1)x(x + 2)
1 = 2 / (k - 1)(x + 2)
(k - 1)(x + 2) = 2
(k - 1)x + 2k - 2 = 2
(k - 1)x = 4 - 2k
x = (4 - 2k) / (k - 1)
x = 2 / (1 - k)

Таким образом, прямая y = kx имеет ровно одну общую точку с графиком функции у = x + 2 / (x^2 + 2x) при k = -1.