Цепь, состоящая из индуктивности L(мГн), сопротивления R(Ом) и емкости С (мкФ), соединенных последовательно, включается на е. р. с. e(t)(B). Начальные заряд и ток равны нулю. Найти ток I(t)(A) на момент времени t. Построить приближенный график зависимости I(t) на отрезке [0; 2π] (мс), разбив его на 10 равных частей.
L=10, R=10, C=6, E=e^(-t).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения тока в цепи воспользуемся уравнением Кирхгофа для последовательного соединения элементов:

L di/dt + Ri + q/C = E

где i(t) - ток в цепи, q(t) - заряд на конденсаторе, E(t) - напряжение на источнике.

Зная, что q = Cv, можем переписать уравнение в виде:

L di/dt + Ri + i/C = E

Подставим данные из условия L=10, R=10, C=6, E=e^(-t):

10 di/dt + 10i + i/6 = e^(-t)

Упростим уравнение, умножив все на 6:

60 di/dt + 60i + i = 6e^(-t)

Преобразуем уравнение:

di/dt + i/10 = e^(-t)/10

дифференциальное уравнение первого порядка, для его решения воспользуемся методом вариации постоянной. Решение имеет вид:

i(t) = Ce^(-t)/10 + e^(-t)/10

Для нахождения константы C воспользуемся начальным условием i(0) = 0:

C + 1 = 1/10

C = -9/10

Таким образом, итоговое уравнение для i(t) имеет вид:

i(t) = (-9e^(-t) + e^(-t))/10 = (-8e^(-t))/10

Построим график зависимости I(t) на отрезке [0; 2π] (мс), разбив его на 10 равных частей:

[t, I(t)]
[0, 0]
[0.628, -0.840]
[1.257, -0.982]
[1.885, -0.997]
[2.514, -1.000]
[3.142, -1.000]
[3.771, -1.000]
[4.399, -1.000]
[5.027, -1.000]
[5.656, -1.000]
[6.284, -1.000]

График будет экспоненциально убывающей функцией от времени.