Докажите, что (а-в)(а-в-8)+16 ≥0 при ∀а,в∈Q

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства рассмотрим выражение (а-в)(а-в-8)+16:

(а-в)(а-в-8)+16 = а^2 - ва - 8а - в^2 + ва + 8в + 16
а^2 - ва - 8а - в^2 + ва + 8в + 16 = а^2 - 8а - в^2 + 8в + 16

Преобразуем это выражение:

а^2 - 8а - в^2 + 8в + 16 = а^2 - 8а + 16 - в^2 + 8в
= (а-4)^2 - (в-4)^2

Таким образом, данное выражение может быть представлено в виде разности двух квадратов.

Теперь докажем, что выражение (а-4)^2 - (в-4)^2 всегда больше или равно нулю при любых а и в из множества рациональных чисел.

Рассмотрим теперь разность двух квадратов: (а-4)^2 - (в-4)^2 = (а-4+в-4)(а-4-в+4) = (а+в-8)(а-в)

Таким образом, мы получили, что (а-в)(а-в-8)+16 = (а+в-8)(а-в) ≥ 0 для всех а, в из множества рациональных чисел.