Дано дифференциальное уравнение второго порядка и его начальные условия. Найдите общее решение этого уравнения и определите частное решение.
y'"cos^4x=-sin2x y(π)=0, y’(π)=2, y(π)”=-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дифференциальное уравнение второго порядка дано в виде y'' * cos^4(x) = -sin(2x).

Для начала, найдем общее решение дифференциального уравнения. Для этого сначала решим уравнение, соответствующее однородной части уравнения (y'' * cos^4(x) = 0):

y'' * cos^4(x) = 0
y'' = 0

Таким образом, общее решение однородной части уравнения:

y_h = Ax + B

Теперь найдем частное решение. Для этого предположим, что решение частного решения имеет вид y_p = Csin(2x) + Dcos(2x). Подставим это в уравнение и найдем C и D:

y''_p cos^4(x) = -sin(2x)
(-4Csin(2x) - 2Dcos(2x)) cos^4(x) = -sin(2x)

(-4Csin(2x) - 2Dcos(2x)) cos^4(x) = -sin(2x)
-4Csin(2x)cos^4(x) - 2Dcos(2x)cos^4(x) = -sin(2x)
-4C (2sin(x)cos(x))^2 - 2D * (cos^2(x) - sin^2(x)) = -sin(2x)

Раскроем и приведем подобные:

-4C (2sin(x)cos(x))^2 - 2D (cos^2(x) - sin^2(x)) = -sin(2x)
-4C(2sin^2(x)cos^2(x)) - 2D(cos^2(x) - sin^2(x)) = -sin(2x)
-8Csin^2(x)cos^2(x) - 2Dcos^2(x) + 2Dsin^2(x) = -sin(2x)
-8Csin^2(x)cos^2(x) - 2D = -sin(2x)

Сравнивая коэффициенты получаем:

-8Csin^2(x)cos^2(x) = 1
C = -1/8

Таким образом, частное решение y_p = (-1/8)sin(2x) + Dcos(2x). Найдем D из начального условия y'(π) = 2:

y'(π) = 2 = 2D
D = 1

Итак, частное решение: y_p = (-1/8)sin(2x) + cos(2x)

Теперь общее решение уравнения будет представлено в виде суммы общего решения однородной части и частного решения:

y = y_h + y_p = Ax + B + (-1/8)sin(2x) + cos(2x)

Подставляя начальные условия y(π) = 0, y'(π) = 2, y(π)'' = -1, найдем значения коэффициентов A и B.