Для решения данного интеграла, используем формулу тождества:

sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2

Тогда интеграл принимает вид:

∫((1 - cos(2x))/2 + 1) * sin(x) dx

∫(sin(x) - cos(2x) * sin(x)/2 + sin(x)) dx

∫(2sin(x) - cos(2x) * sin(x)) / 2 dx

Интегрируем по частям:

u = sin(x) dv = dx
du = cos(x)dx v = x

Получаем:

2sin(x)x - (1/2) ∫cos(2x)dx

Интегрируем cos(2x):

(1/2) ∫cos(2x)dx = (1/2) (1/2) * sin(2x) = (1/4)sin(2x)

Получается окончательный ответ:

2sin(x)*x - (1/4)sin(2x) + C, где C - константа интегрирования.