Вычислить предел : 1) lim x-0 (tg4x*ln2x)/x
2)lim x-3 (2x-6)/(√(x-3)-√(2x-6))
Найти дифференциал функции dy:
y=(2x-3)/(x^3-8e^(3x)+4)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) lim x->0 (tan(4x)*ln(2x))/x

Переведем тангенс из дугового в радианы:
lim x->0 (tan(4x)ln(2x))/x = lim x->0 (tan(4x)(ln(2x)*π/180))/x

Используем тригонометрическое тождество:
tan(4x) = sin(4x)/cos(4x)

lim x->0 ((sin(4x)/cos(4x))(ln(2x)π/180))/x
lim x->0 ((sin(4x)ln(2x)π)/(180cos(4x)x))

Теперь видим, что это индетерминированная форма 0/0

Продифференцируем числитель и знаменатель по формуле Лопиталя:
lim x->0 ((4cos(4x)ln(2x)π + sin(4x)2x)/(180*cos(4x)-sin(4x)) =

(410π + 020)/(1801 - 0)= 0

Ответ: 0

2) lim x->3 (2x-6)/(sqrt(x-3)-sqrt(2x-6))

Для решения преобразуем выражение к более удобному виду:
lim x->3 (2(x-3))/((sqrt(x-3)-sqrt(2(x-3))))
lim x->3 2
Ответ: 2

3) Найдем дифференциал функции у:
y = (2x-3)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)

y = (2x-3)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)

dy = d((2x-3)/(x^3 - 8e^(3x) + 4))
dy = (d(2x-3)(x^3 - 8e^(3x) + 4) - (2x-3)d(x^3 - 8e^(3x) + 4))/(x^3 - 8e^(3x) + 4)^2
dy = ((2)(dx) - 0 - 3(3x^2 dx - 24e^(3x)dx) + 0)/x^3 - 8e^(3x) + 4)^2
dy = (2dx - 9x^2dx + 72e^(3x)dx)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)^2

Ответ: dy = (2dx - 9x^2dx + 72e^(3x)dx)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)^2