1) lim x->0 (tan(4x)*ln(2x))/x
Переведем тангенс из дугового в радианыlim x->0 (tan(4x)ln(2x))/x = lim x->0 (tan(4x)(ln(2x)*π/180))/x
Используем тригонометрическое тождествоtan(4x) = sin(4x)/cos(4x)
lim x->0 ((sin(4x)/cos(4x))(ln(2x)π/180))/lim x->0 ((sin(4x)ln(2x)π)/(180cos(4x)x))
Теперь видим, что это индетерминированная форма 0/0
Продифференцируем числитель и знаменатель по формуле Лопиталяlim x->0 ((4cos(4x)ln(2x)π + sin(4x)2x)/(180*cos(4x)-sin(4x)) =
(410π + 020)/(1801 - 0)= 0
Ответ: 0
2) lim x->3 (2x-6)/(sqrt(x-3)-sqrt(2x-6))
Для решения преобразуем выражение к более удобному видуlim x->3 (2(x-3))/((sqrt(x-3)-sqrt(2(x-3)))lim x->3 Ответ: 2
3) Найдем дифференциал функции уy = (2x-3)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)
y = (2x-3)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)
dy = d((2x-3)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)dy = (d(2x-3)(x^3 - 8e^(3x) + 4) - (2x-3)d(x^3 - 8e^(3x) + 4))/(x^3 - 8e^(3x) + 4)^dy = ((2)(dx) - 0 - 3(3x^2 dx - 24e^(3x)dx) + 0)/x^3 - 8e^(3x) + 4)^dy = (2dx - 9x^2dx + 72e^(3x)dx)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)^2
Ответ: dy = (2dx - 9x^2dx + 72e^(3x)dx)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)^2
1) lim x->0 (tan(4x)*ln(2x))/x
Переведем тангенс из дугового в радианы
lim x->0 (tan(4x)ln(2x))/x = lim x->0 (tan(4x)(ln(2x)*π/180))/x
Используем тригонометрическое тождество
tan(4x) = sin(4x)/cos(4x)
lim x->0 ((sin(4x)/cos(4x))(ln(2x)π/180))/
lim x->0 ((sin(4x)ln(2x)π)/(180cos(4x)x))
Теперь видим, что это индетерминированная форма 0/0
Продифференцируем числитель и знаменатель по формуле Лопиталя
lim x->0 ((4cos(4x)ln(2x)π + sin(4x)2x)/(180*cos(4x)-sin(4x)) =
(410π + 020)/(1801 - 0)= 0
Ответ: 0
2) lim x->3 (2x-6)/(sqrt(x-3)-sqrt(2x-6))
Для решения преобразуем выражение к более удобному виду
lim x->3 (2(x-3))/((sqrt(x-3)-sqrt(2(x-3)))
lim x->3
Ответ: 2
3) Найдем дифференциал функции у
y = (2x-3)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)
y = (2x-3)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)
dy = d((2x-3)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)
dy = (d(2x-3)(x^3 - 8e^(3x) + 4) - (2x-3)d(x^3 - 8e^(3x) + 4))/(x^3 - 8e^(3x) + 4)^
dy = ((2)(dx) - 0 - 3(3x^2 dx - 24e^(3x)dx) + 0)/x^3 - 8e^(3x) + 4)^
dy = (2dx - 9x^2dx + 72e^(3x)dx)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)^2
Ответ: dy = (2dx - 9x^2dx + 72e^(3x)dx)/(x^3 - 8e^(3x) + 4)^2