Доказать, что если p - простое число, больше 2-х, то p^2-5 не делится на 8

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения, можно рассмотреть все возможные остатки от деления p на 8 и проверить, что результат выражения p^2 - 5 не будет делиться на 8.

Так как p - простое число больше 2, то остаток от деления p на 8 может быть только 1, 3, 5 или 7.

Пусть остаток от деления p на 8 равен 1. Тогда p = 8k + 1 для некоторого целого k.
p^2 - 5 = (8k + 1)^2 - 5 = 64k^2 + 16k + 1 - 5 = 8(8k^2 + 2k) - 4.
Поскольку -4 не делится на 8, то p^2 - 5 также не делится на 8.

Пусть остаток от деления p на 8 равен 3. Аналогично можно показать, что p^2 - 5 не делится на 8.

Пусть остаток от деления p на 8 равен 5. Тогда аналогичным образом показываем, что выражение p^2 - 5 не делится на 8.

Пусть остаток от деления p на 8 равен 7. Тогда аналогично показываем, что p^2 - 5 не делится на 8.

Таким образом, во всех случаях, когда p - простое число, большее 2, выражение p^2 - 5 не делится на 8.