Найти значение выражения sin ^2 п/9 + cos^2 п/9 - ( cos^2 п/12 -sin^2 п/12)^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти значение данного выражения, нам нужно воспользоваться формулами тригонометрии:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1(cos^2(x) - sin^2(x))^2 = cos^4(x) - 2cos^2(x)sin^2(x) + sin^4(x)

Подставим значения x = π/9 и x = π/12:

sin^2(π/9) + cos^2(π/9) = 1(cos^2(π/12) - sin^2(π/12))^2 = cos^4(π/12) - 2cos^2(π/12)sin^2(π/12) + sin^4(π/12)

Теперь рассчитаем значения:

sin^2(π/9) + cos^2(π/9) = 1

(cos^2(π/12) - sin^2(π/12))^2 = cos^4(π/12) - 2cos^2(π/12)sin^2(π/12) + sin^4(π/12) =
= ((√3 - 1)/2)^4 - 2((√3 - 1)/2)^2 * (1/2)^2 + (1/2)^4 =
= (3 - 2√3 + 1)/16 - 1/4 + 1/16 =
= (4 - 2√3 - 4 + 1 + 1)/16 =
= (2 - 2√3)/16 =
= (1 - √3)/8

Итого, значение данного выражения равно 1 - (1 - √3)/8 = 7/8 + √3.