Треугольник ABC вписан в окружность, радиус которой равен 2√3, угол А=80°, угол С=40°. Найдите AC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о вписанном угле: угол, опирающийся на дугу, равен половине этой дуги.

Рассмотрим угол В. Так как треугольник ABC вписан в окружность, то угол В равен половине дуги AC. Следовательно, угол В = 180° - 80° - 40° = 60°.

Обозначим точку D на окружности так, чтобы треугольник ACD был равнобедренным.
Тогда угол ACD = 80°, угол ADC = 80°, угол CAD = (180° - 80°) / 2 = 50°.

Рассмотрим треугольник ACD. По теореме косинусов:
AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2ADCD*cos50°.

Так как треугольник ACD равнобедренный, то AD = CD. Обозначим их длину как x.
Тогда AC^2 = x^2 + x^2 - 2x^2cos50°
= 2x^2(1 - cos50°)
= 2x^2(1 - cos(90° - 40°))
= 2x^2(1 - sin40°)
= 2(2√3)^2(1 - sin40°)
= 24(1 - sin40°)
≈ 24(1 - 0.6428)
≈ 24*(0.3572)
≈ 8.57
AC ≈ √8.57 ≈ 2.93.

Итак, длина отрезка AC примерно равна 2.93.