Найдите все пары(a,b) натуральных чисел a и b, удовлетворяющих равенству
a^(a+2)=b^(b-2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Очевидно, что a и b не могут быть равны, так как в этом случае a = b = 1, что является невозможным, так как в степени не может быть равное 0 число.

При a=1 равенство не выполняется. Поэтому a>1 и b>1.

Для начала заметим, что в данном уравнении a и b являются основанием степени, поэтому a^(a+2) всегда больше b^(b-2). Это можно понять, так как a > b и (a+2) > (b-2).

Так как a и b являются натуральными числами, то b^(b-2) должно делиться на a. То есть, a - это делитель b^(b-2).

Теперь рассмотрим случай, когда b - четное число.

Пусть b = 2k, где k - натуральное число. Тогда подставим это значение в уравнение:

a^(a+2) = (2k)^(2k-2
a^(a+2) = 4^k k^(2k-2
a^(a+2) = 2^(2k) k^(2k-2)

Так как a лежит в пределах от 1 до бесконечности, то a = 2. Тогда:

a^(a+2) = 2^(2+2) = 2^4 = 1
(2k)^(2k-2) = 4k^(2k-2) = 4 k^2k k^-2 = 4 * k^(2k-2)

Из этого следует, что пара (2,4) является решением уравнения.

Теперь рассмотрим случай, когда b - нечетное число.

Пусть b = 2k + 1, где k - натуральное число. Тогда подставим это значение в уравнение:

a^(a+2) = (2k+1)^(2k-2
a^(a+2) = (2k+1)^(2k-2)

Для того, чтобы это уравнение имело целочисленное решение, необходимо, чтобы (2k+1) было степенью a.

Из этого следует, что пары (a,b) натуральных чисел, удовлетворяющих данному уравнению, это (2,4) и других нет.

Ответ: (2,4).