Докажите что выражение 4 в сороковой степени минус 1 делится на цело на 5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим выражение $4^{40} - 1$.

Заметим, что $4 \equiv -1 (\text{mod } 5)$, так как $4 = 5 \cdot 0 + 4$ и $-1 = 5 \cdot (-1) + 4$, что означает, что $4$ и $-1$ равны по модулю $5$.

Теперь заметим, что $4^{40} \equiv (-1)^{40} = 1 (\text{mod } 5)$, так как четная степень от отрицательного числа дает положительное число.

Таким образом, $4^{40} \equiv 1 (\text{mod } 5)$.

Из этого следует, что $4^{40} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 (\text{mod } 5)$, что означает, что выражение $4^{40} - 1$ делится на цело на $5$.

Таким образом, мы доказали, что выражение $4^{40} - 1$ делится на $5$.